Factoriser les polynômes P(x)=x²-1 + (1 - x)(2x - 3) ; Q(x) = x³ - 6x² + 12x - 8 ; P, Q, R définis par : bonjour vous pouvez me montrer comment faire ​

Factoriser les polynômes P(x)=x²-1 + (1 - x)(2x - 3) ; Q(x) = x³ - 6x² + 12x - 8 ; P, Q, R définis par :
bonjour vous pouvez me montrer comment faire ​

Bonjour ,

Il va falloir faire apparaître un facteur commun ou une racine évidente .

Pour P(x) ,  c'est  le facteur commun.

Tu sais que :

x²-1=(x-1)(x+1)

Oui ? C'est : a²-b²=(a-b)(a+b) vu en 3ème.

P(x)=(x-1)(x+1) + (1-x)(2x-3)

(x-1) ressemble à (1-x) mais ce n'est pas pareil.

Par contre : (1-x)=-(x-1)

Car -(x-1)=-x+1=1-x

OK ?

Donc :

P(x)=(x-1)(x+1) - (x-1)(2x-3)

P(x)=(x-1)[(x+1)-(2x-3)]

P(x)=(x-1)(x+1-2x+3)

P(x)=(x-1)(4-x)

---------

Q(x)=x³-6x²+12x-8

x=2 est racine évidente car :

Q(2)=2³-6*2²+12*2-8=8-24+24-8=0

Donc on peut écrire :

Q(x)=(x-2)(ax²+bx+c)

On développe :

Q(x)=ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c

Q(x)=ax³+x²(b-2a)+x(c-2b)-2c

Par identification avec ;

Q(x)=x³-6x²+12x-8

il faut :

a=1

b-2a=-6 ==> b-2 = -6

b=-4

c-2b=12 ==>c-2(-4)=12 ==> c=12-8

c=4

-2c=-8

c=-8/-2=4

Donc :

Q(x)=(x-2)(x²-4x+4)

Mais : x²-4x+4=(x-2)²

Donc :

Q(x)=(x-2)(x-2)²

Q(x)=(x-2)³

Tout compris ?